题目

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于    时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于     时，△PAD是等腰三角形；(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3 ． 坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值． 答案：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，∵AB是直径，∴∠APB=90°，则在Rt△PAB中，PA=12AB=2，∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，此时P位于正方形ABCD的中心O．则PD⊥PA，PD=PA，∴AD2=PD2+PA2=2PA2=16，∴PA=22②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）2+x2=4，∴x=255∴AG=2x=455，AP=855∴当PA的长度等于22或855时，△PAD是等腰三角形.（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长EP交BC于点G，则PG⊥BC.∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a在△PAD、△PAB和△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a∵AB为直径∴∠APB=90°∴PE2=AE•BE，即b2=a（4-a）∴2S1S3－S22=4a(8-2a)-4b2=-4a2+16a=-4(a-2)2+16∴当a=2时，b=2，2S1S3－S22有最大值是16.

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