题目

在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ． （1） 求 ； （2） 若 ，求 周长的取值范围． 答案： 解：因为 (a+c−b)(sinA+sinB)=(a+c)sinC ， 所以由正弦定理，可得 (a+c−b)(a+b)=c(a+c) ， 化简得 b2+c2−a2=bc ． 则由余弦定理，可得 cosA=b2+c2−a22bc=12 又因为 A∈(0，π) ，所以 A=π3 ． 解：因为 bsinB=csinC=asinA=3sinπ3=2 ，所以 b=2sinB ， c=2sinC ． 则 △ABC 的周长 L=a+b+c=3+2(sinB+sinC) =2[sinB+sin(2π3−B)]+3=23sin(B+π6)+3 ． 因为 0<B<2π3 ，所以 π6<B+π6<5π6 ，所以 12<sin(B+π6)≤1 ． 所以 23<23sin(B+π6)+3≤33 ，即 △ABC 周长的取值范围为 (23，33] ．

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