题目

如图所示，半圆O的直径 ，点C在 的延长线上， ，点P为半圆弧上的动点．以 为一边在半圆外作矩形 ，其中 ．设 ． （1） 将 表示为 的函数； （2） 求 和矩形 的面积之和的最大值． 答案： 连接 OP ，则 ∠POC=2θ ， 在 △POC 中，由余弦定理，得 PC2=22+42−2×2×4cos2θ=20−16cos2θ ， 所以 PC=25−4cos2θ(0<θ<π2) ． 依题意 S△APC=12PA⋅ACsinθ=12×4cosθ×6sinθ=6sin2θ ， SPCDE=12PC⋅PC=12(20−16cos2θ)=10−8cos2θ ， 所以 △PAC 和矩形 PCDE 的面积之和 S=S△APC+SPCDE=6sin2θ+10−8cos2θ=10sin(2θ−φ)+10 ， 其中 sinφ=45，cosφ=35 ． 所以当 sin(2θ−φ)=1 ，即 θ=π4+φ2 时，S取得最大值20．

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