题目

已知直线 与椭圆 相交于 两点，其中 在第一象限， 是椭圆上一点. （1） 记 、 是椭圆 的左右焦点，若直线 过 ，当 到 的距离与到直线 的距离相等时，求点 的横坐标； （2） 若点 关于 轴对称，当 的面积最大时，求直线 的方程； （3） 设直线 和 与 轴分别交于 ，证明： 为定值. 答案： 解：设 M(x，y)， F1(−2，0) ，依题意得， (x+2)2+y2=|x−t| ，联立椭圆方程： Γ：x24+y22=1 ，把 y2=2−12x2 代入得： x2+22x+2+2−12x2=x2−2tx+t2 ， ∴x=(2−2)t−2 ； 又因为 t=2 ，代入得： xM=−6+42 解：设 A(t，y1)B(t，−y1) ，则 M(−t，y1) ，则 S△MAB=2t⋅|y1| ， 又因为 A(t，y1) 在椭圆 Γ：x24+y22=1 上， 所以 t24+y122=1 ， ∴1≥212t⋅12y1 ∴ty1≤2 则 S△MAB ≤22 ，当且仅当 t=2y1 时，取等号，即 t=2 ，则 M(−2，1)，B(2，−1) ，所以 lMB：y=−22x 解：设 A(t，y1)，B(t，−y1)，M(x0，y0) ， 则 {lMA：y=y0−y1x0−t(x−t)+y1lMB：y=y0+y1x0−t(x−t)−y1 令y=0→{P(ydt−y1x0y0−y1，0)Q(y0t+y1x0y0+y1，0) ， 则 |OP|⋅|OQ|=|y02t2−y12x02y02−y12| ，又因为 {y12=2−12t2y02=2−12x02 ，代入得： |OP|⋅|OQ|=|2t2−2x0212t2−12x02|=4 ，故为定值

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