题目

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上与圆弧的圆心O等高的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．试求： （1） 物体释放后，第一次到达B处的速度大小，并求出物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s； （2） 最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小； （3） 为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、O、D为同一条竖直直径上的3个点），释放点距B点的距离L应满足什么条件． 答案： 解：设物体释放后，第一次到达B处的速度为v1，根据动能定理可知： mgRcosθ−μmgcosθRcosθsinθ=12mv12 解得： vB=2gR(sinθ−μcosθ)tanθ 物体每完成一次往返运动，在AB斜面上能上升的高度都减少一些，最终当它达B点时，速度变为零，对物体从P到B全过程用动能定理，有 mgRcosθ−μmgLcosθ=0 得物体在AB轨道上通过的总路程为 L=Rμ 解：最终物体以B为最高点在圆弧轨道底部做往返运动，设物体从B运动到E时速度为v2，由动能定理知： mgR(1−cosθ)=12mv22 在E点，由牛顿第二定律有 FN−mg=mv22R 解得物体受到的支持力 FN=mg(3−2cosθ) 根据牛顿第三定律，物体对轨道的压力大小为 FN′=FN=mg(3−2cosθ) ，方向竖直向下 解：设物体刚好到达D点时的速度为vD此时有 mg=mvD2R 解得： vD=gR 设物体恰好通过D点时释放点距B点的距离为 L0 ，有动能定理可知： mg[L0sinθ−R(1+cosθ)]−μmgcosθL0=12mvD2 联立解得： L0=(3+2cosθ)R2(sinθ−μcosθ) 则： L⩾(3+2cosθ)R2(sinθ−μcosθ)

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