题目

已知函数 ， . （1） 求函数 在 处的切线方程； （2） （i）若函数 在 为递减函数，求 的值； （ii）在（i）成立的条件下，若 且 ，求 的最大值. 答案： 解：因为 f′(x)=lnx+1 ，所以 f′(e)=2 . 函数 f(x) 在 x=e 处即过 (e，e) 点的切线方程： y−e=2(x−e) ， 故所求的切线方程为： 2x−y−e=0 . 解：（i）设 t(x)=f(x)−g(x)=xlnx−m2x2+(m−1)x ， 则 t′(x)=lnx−mx+m ， t″(x)=1−mxx ， 当 m≤0 时， t″(x)>0 ， t′(x) 在 (0，+∞) 为增函数. 当 x>1 时， t′(x)>t′(1)=0 ， t′(x) 在 (0，+∞) 为增函数与 t′(x) 在 (0，+∞) 为减函数矛盾； 当 m>0 时， x∈(0，1m) 时， t′(x) 在 (0，+∞) 增函数， x∈(1m，+∞) 时， t″(x)<0 ， t′(x) 在 (0，+∞) 减函数， t′(x)max =t′(1m)=ln1m−1+m=m−1−lnm ， 因为 t(x) 在 (0，+∞) 为减函数，所以 m−1−lnm≤0 成立. 记 p(m)=m−1−lnm ，则 p′(m)=1−1m ， 因为 m>1 时， p′(m)>0 ， m<1 时， p′(m)<0 ，所以 p(m)≥p(1)=0 ， 又 p(m)=m−1−lnm≤0 ，所以 m=1 . （i i）由（i）成立的条件，即 m=1 ，则 t(x)=f(x)−g(x)=xlnx−12x2 . 因为 2f(x1)+2f(x2)=2g(x1)+2g(x2)+t(t∈Z) ，（不妨设 x1<x2 ）. 所以 t2=f(x1)+f(x2)−g(x1)−g(x2)=t(x1)+t(x2) 又 t(x) 在 (0，+∞) 为减函数，而 x1+x2>2(x1≠x2) ， 所以只有 x2>x1>1 和 x2>1≥x1>0 两种情况. 当 x2>x1>1 时， t(x2)<t(x1) ，所以 t2=t(x1)+t(x2)<2t(x1)<2t(1)=−1 ， 当 x2>1≥x1>0 时，所以 t(x2)<t(2−x1) . t2=t(x1)+t(x2)<t(x1)+t(2−x1) ，记 φ(x)=t(x)+t(2−x)(0<x≤1) φ′(x)=t′(x)−t′(2−x)=2−2x+lnx−ln(2−x) φ″(x)=−2+1x+12−x=2x(2−x)−2≥2−2=0 ， 所以 φ′(x)=2−2x+lnx−ln(2−x) 在 (0，1] 为递增函数， 又 φ′(x)≤φ′(1)=0 ， φ(x)=t(x)+t(2−x) 在 (0，1] 为递减函数， 所以 −1=2t(1)≤φ(1)≤φ(x)<φ(x)x→0=t(x)x→0+t(2−x)x→0 又 x→0 时， t(x)→0 ， t(2−x)→t(2)=2ln2−2<−12 ， 因为 t∈Z ，所以 tmax=−2 .

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