题目

如图1，△ABC内接于圆O，连接AO，延长AO交BC于点D，AD⊥BC． （1） 求证：AB＝AC； （2） 如图2，在圆O上取一点E，连接BE、CE，过点A作AF⊥BE于点F，求证：EF+CE＝BF； （3） 如图3在（2）的条件下，在BE上取一点G，连接AG、CG，若 ∠AGB+∠ABC＝90°，∠AGC＝∠BGC，AG＝6，BG＝5，求EF的长． 答案： 证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O， ∴BD＝CD，且AD⊥BC， ∴AB＝AC； 证明：如图2，在BF上截取FH＝EF，连接AE，AH， ∵AF⊥EH，EF＝FH， ∴AH＝AE， ∴∠AHE＝∠AEH， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，且∠ACB＝∠AEH， ∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠HAE， ∴∠BAH＝∠CAE，且AH＝AE，AB＝AC， ∴△ABH≌△ACE（SAS） ∴BH＝CE， ∴BF＝EF+CE； 解：如图3，延长CG交⊙O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，AM，MB， ∵ 14 ∠AGB+∠ABC＝90°， ∴ 14 ∠AGB＝90°﹣∠ABC， ∴∠AGB＝2∠BAC， ∵∠AGC＝∠BGC， ∴∠BGM＝∠AGM＝ 12 ∠AGB， ∴∠BGM＝∠AGM＝∠BAC，且∠BAC＝∠BMC， ∴∠BMG＝∠BGM， ∴BM＝BG＝5， ∵∠AMC＝∠ABC，∠AGM＝∠BAC， ∴∠GAM＝∠ACB， ∴∠AMG＝∠MAG， ∴MG＝AG＝6， ∵BM＝BG，BN⊥MG， ∴MN＝NG＝3， ∴BN＝ BG2−NG2 ＝ 25−9 ＝4， ∵∠BMG＝∠AGM， ∴BM∥AG， ∴ AKBK=AGBM=65=PKKN ， ∵AP∥BN， ∴ APBN=AKBK=65 ， ∴AP＝ 245 ， ∴PG＝ AG2−AP2=185 ， ∴PN＝PG﹣NG＝ 35 ，且 PKKN=65 ∴PK＝ 1855 ，KN＝ 311 ， ∴AK＝ AP2+PK2=6194555 ， BK＝ 56AK=194511 ， ∴AB＝AK+BK＝ 19455 ， ∵AF2＝AG2﹣GF2，AF2＝AB2﹣BF2， ∴AG2﹣GF2＝AB2﹣（5+GF）2， ∴GF＝ 4225 ， ∴BF＝ 16725 ， ∵MP＝MG﹣PG＝ 125 ， ∴MK＝ 3011 ， ∵∠AMC＝∠ABC，∠MAB＝∠BCM， ∴△MAK∽△BCK， ∴ MKBK=AKCK ， ∴CK＝ 38955 ， ∴GC﹣KC﹣KG＝ 20955 ， ∵∠BMC＝∠BEC，∠BGM＝∠CGE，∠BGM＝∠BMG， ∴∠CGE＝∠CEG， ∴CG＝CE＝ 20955 ， ∵EF+CE＝BF， ∴EF＝BF﹣CE＝ 16725−20955=792275 ．

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