题目

为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，，，，，其频率分布直方图如图1所示．今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．附：对于一组样本数据，，… ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．（1）设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数，并说明理由；（2）求体检中心抽取的100个人的免疫力指标平均值；（3）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？答案：解：由频率分布直方图知，免疫力指标在 (10，20] 中的频率为 0.026×10=0.26 ．同理，在 (20，30] ， (30，40] ， (40，50] ， (50，60] 中的频率分别为0.4，0.24，0.08， 0.02．故免疫力指标不低于30的频率为 0.24+0.08+0.02=0.34 ．由样本的频率分布，可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数为 5000×0.34=1700 解：由直方图知，免疫力指标的平均值为 15×26100+25×40100+35×24100+45×8100+55×2100=27 解：由散点图知，5组样本数据 (x，y) 分别为 (10，30) ， (30，50) ， (50，60) ， (70，70) ， (90，90) ，且x与y具有线性相关关系．因为 x¯=50 ， y¯=60 ，则 b=10×30+30×50+50×60+70×70+90×90−5×50×60102+302+502+702+902−5×502=710 ， a=60−710×50=25 ，所以回归直线方程为 y^=0.7x+25 ．由（2）知，免疫力指标的平均值为27．由 y^≤27×3=81 ，得 0.7x+25≤81 ，解得 x≤80 ．据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．

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