题目

如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面 ， ， 点 ， 分别是 ， 的中点. （1） 证明：平面平面； （2） 若 ， 点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小. 答案： 证明：因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AE⊥BC，又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE， 因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，又因为BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因为CD⊥AE，AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，又因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF. 解：在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，设BC=4，则EA=23，DF=FC=l，EF=3.以{EH→，EF→，EA→}为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz，则E(0，0，0)，A(0，0，23)，C(−1，3，0)，D(1，3，0)，设G(1，y，0)，则EA→=(0，0，23)，AD→=(1，3，−23)，CD→=(2，0，0)，EG→=(1，y，0)，设平面AEG的法向量为n1→=(x1，y1，z1)，由{n1⇀⋅EA⇀=0n1⇀⋅EG⇀=0，得{23z1=0x1+yy1=0，令y1=−1，故n1→=(y，−1，0)，设平面ACD的法向量为n2→=(x2，y2，z2)，则{n2⇀⋅CD⇀=0n2⇀⋅AD⇀=0，即{2x2=0x2+3y2−23z2=0，令z2=1，则n2→=(0，2，1)，设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos<n1→，n2→>|=|−25⋅y2+1|=25⋅y2+1，当y=0，cosθ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.

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