题目

如图，在平行四边形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， ，点 在线段 上运动，且 . （1） 当 时，证明 ； （2） 设平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围. 答案： 证明：在 △ABC 中， AB=1 ， BC=AD=2 ， ∠ABC=π3 ，则 AC=12+22−2×1×2×cosπ3=3 ，所以 AB2+AC2=BC2 ， ∴AB⊥AC . 因为四边形 ACEF 为矩形，所以 FA⊥AC ， 因为平面 ACEF⊥ 平面 ABCD ，平面 ACEF∩ 平面 ABCD=AC ， FA⊂ 平面 ACEF ， 所以 FA⊥ 平面 ABCD . 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0，0，0) ， B(1，0，0) ， C(0，3，0) ， D(−1，3，0) ， E(0，3，1) ， F(0，0，1) ， 当 λ=12 时， EM→=12EF→ ，所以 M(0，32，1) . 所以 BM→=(−1，32，1) ， DE→=(1，0，1) ， 所以 BM→⋅DE→=(1，0，1)⋅(−1，32，1)=0 ， 所以 DE ⊥ BM 解：平面 ECD 的一个法向量 n1→=(0，1，0) ， 设 M(x0，y0，z0) ，由 EM→=λ(0，−3，0)=(0，−3λ，0)=(x0，y0−3，z0−1) ， 得 {x0=0y0=3(1−λ)z0=1 即 M(0，3(1−λ)，1) ，所以 BM→=(−1，3(1−λ)，1) ， BC→=(−1，3，0) . 设平面 MBC 的法向量 n2→=(x，y，z) ，因为 {n2⇀⊥BC⇀n2⇀⊥BM⇀ ，即 {−x+3y=0，−x+3(1−λ)y+z=0， 取 y=1 ，则 x=3 ， z=3λ ， 所以平面 MBC 的一个法向量 n2→=(3，1，3λ) ， 因为 0<θ≤π2 ，所以 cosθ=|n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→||=14+3λ2 . 因为 0≤λ≤1 ，所以 cosθ∈[77， 12] .

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