题目

数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为 a、b，则 A、B两点之间的距离 ，线段AB的中点表示的数为 ．如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1． （1） 求线段AB的长和线段AB的中点表示的数． （2） 找出所有符合条件的整数x，使得 ．并由此探索猜想，对于任意的有理数x， 是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． （3） 点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的解．数轴上是否存在一点P，使得PA+PB=PC，若存在，写出点P对应的数；若不存在，请说明理由． 答案： 解：AB=1-（-2）=3， 线段AB中点表示的数为 −2+12=−12 ； 解：式子|x＋2|＋|x−1|＝3可理解为：在数轴上，某点到-2所对应的点的距离和到1所对应的点的距离之和为3， ∴满足条件的整数x可为−2，−1，0，1； 有最小值．最小值为8， 理由是：∵|x−2|＋|x+6|理解为：在数轴上表示x到2和-6的距离之和， ∴当x在2与-6之间的线段上（即-6≤x≤2）时： 即|x−2|＋|x+6|的值有最小值，最小值为2−（-6）＝8； 解： 2x−1=12x+2 ， 解得 x=2 ，即点C在数轴上对应的数为2， ∴点P可能在A的左侧或在AB之间， ①当点P在点A的左侧时，由PA+PB=PC可知，-2-x+1-x=2-x， 解得x=-3； ②当点P在点A的左侧时，由PA+PB=PC可知，3=2-x， 解得x=-1； 综上，存在，点P对应的数为：-3或-1．

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