题目

已知函数 为奇函数，且函数 有且只有一个零点． （1） 求函数 的解析式； （2） 解不等式 . 答案： 因为函数 f(x)=x2+bx+1ax 为奇函数， 所以 f(x)=−f(x) ，即 x2+bx+1ax=−(−x)2−b(−x)+1a(−x) ， 化简得： 2bx=0 ，得 b=0 ，所以 f(x)=x2+1ax ， 因为方程 f(x)=2 有且仅有一个实根， 即 x2+1ax=2 ， x2−2ax+1=0 有且仅有一个实根， 所以 4a2−4×1×1=0 ，得 a2=1 ， 解得： a=1 或 a=−1 （舍），所以 f(x)=x2+1x 当 x<0 时， f(x)=x2+1x<0 ，所以 x<0 时不成立， 所以 x>0 ，由 x2+1x≥52 可得 2x2−5x+2≥0 ， 解得： x≥2 或 0<x≤12 ，所以原不等式解集 (0，12]∪[2，+∞) .

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