题目

在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1） 求 ， 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （2） 设 ， 分别交 于 ， 两点（与原点 不重合），求 的最小值. 答案： 直线 l1 的极坐标方程为 θ=φ(ρ∈R) . 直线 l2 的极坐标方程为 θ=π2−φ(ρ∈R) . 由曲线 C 的极坐标方程得 ρ2sin2θ=ρcosθ ，所以 C 的直角坐标方程为 y2=x . l1 与 C 的极坐标方程联立得 {θ=φ，ρsin2θ=cosθ， 所以 ρA=cosφsin2φ . l2 与 C 的极坐标方程联立得 {θ=π2−φ，ρsin2θ=cosθ， 所以 pB=sinφcos2φ . 所以 |OA|⋅|OB|=|ρAρB|=|cosφ|sin2φ⋅|sinφ|cos2φ=1|sinφcosφ|=2|sin2φ| . 所以当 φ=π4+kπ2(k∈Z) 时， |OA|⋅|OB| 取最小值2.

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