题目

如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，设圆 的半径为1， 圆心在 上. （1） 若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线方程； （2） 若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围. 答案： 解：由 {y=2x−4，y=x−1， 得圆心 C(3，2) ， ∵圆 C 的半径为1， ∴圆 C 的方程为： (x−3)2+(y−2)2=1 ， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3 ，即 kx−y+3=0 ． ∴ |3k−2+3|k2+1=1 ， ∴ 2k(4k+3)=0 ，∴ k=0 或 k=−34 ． ∴所求圆 C 的切线方程为 y=3 或 3x+4y−12=0 ． 解：∵圆 C 的圆心在直线 l ： y=2x−4 上，所以，设圆心 C 为 (a，2a−4) ， 则圆 C 的方程为 (x−a)2+[y−(2a−4)]2=1 ． 又∵ MA=2MO ， ∴设 M 为 (x，y) ，则 x2+(y−3)2=2x2+y2 ，整理得 x2+(y+1)2=4 ，设为圆 D ． 所以点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上，即圆 C 和圆 D 有交点， ∴ |2−1|≤a2+[(2a−4)−(−1)]2≤|2+1| ， 由 5a2−12a+8≥0 ，得 a∈R ， 由 5a2−12a≤0 ，得 0≤a≤125 ． 综上所述， a 的取值范围为 [0，125] ．

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