题目

已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC= ，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点， （1） 证明：OD∥平面BB1C1C； （2） 试证：BM⊥AB1 ． 答案： 证明：连B1C，∵O为AB1中点，D为AC中点， ∴OD∥B1C，又B1C⊂平面BB1C1C，OD⊄平面BB1C1C，∴OD∥平面BB1C1C 证明：连接B1C， ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥平面ABCAC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，CC1，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BM⊂平面BB1C1C，∴AC⊥MB．在Rt△BCM与Rt△B1BC中， CMBC = CBBB1 = 22 ，∴△BMC∽△B1BC，∴∠CBM=∠BB1C，∴∠BB1C+∠B1BM=∠CBM+∠B1BM=90°，∴BM⊥B1C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BM⊥AB1C，∵AB1⊂平面AB1C，∴BM⊥AB1．

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