题目

已知函数 ， . （1） 若 在其定义域内单调递增，求函数 的值域； （2） 当 时，若关于x的方程 在 上有实根，求m的取值范围. 答案： 因为 y=log2u 为增函数，又因为函数 f(x) 在其定义域内单调递增， 根据复合函数的单调性可得 u=ax+2 也是增函数， 所以 a>0 ， f(x2)=log2(ax2+2) ， 因为 a>0 ，所以 ax2+2≥2 ， 所以 f(x2)=log2(ax2+2)≥log22=1 ， 所以函数 f(x2) 的值域为 [1,+∞) . 当 a=1 时， f(x)=log2(x+2) ， 方程 f(x)=g(x)+m 有实根，即 log2x+2x−1=m 有实根. 令 h(x)=x+2x−1 ， 因为 h(x)=x+2x−1=1+3x−1 在 [2,4] 上单调递减， 所以 h(4)≤h(x)≤h(2) ，即 h(x)∈[2,4] ， 从而可得 log2x+2x−1∈[1,2] ， 所以当 m∈[1,2] 时，关于x的方程 f(x)=g(x)+m 在 [2,4] 上有实根.

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