题目

已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1，（n∈N*）． （1） 求数列{an}的通项an； （2） 设bn=n•an+1 ， 求数列{bn}的前n项和Tn； （3） 设cn= ，求证：c1+c2+…+cn＜ ．（n∈N*） 答案： 解：当n=1时，a1=S1=3， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，∴数列{an}的通项an= {3,n=12n-1,n≥2 解：由（1）可知bn=n•an+1=n•2n， 则Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2Tn=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，得：﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴Tn=2+（n﹣1）•2n+1 证明：由（1）可知cn= 12an-1 = {15,n=112n-1,n≥2 ， 当n=1时，c1= 15 ＜ 65 ，当n≥2时，c1+c2+…+cn= 15 + 122-1 + 123-1 +…+ 12n-1 ＜ 15 + 1+122-1+1 + 1+123-1+1 +…+ 1+12n-1+1 = 15 + 12 + 122 +…+ 12n-1 = 65 ﹣ 12n-1 ＜ 65 ，综上所述，c1+c2+…+cn＜ 65 （n∈N*）

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