题目

已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ． （1） 求数列 和 的通项公式； （2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 答案： 解：设 {an} 的公差为 d ，由 a2=1 ， S7=14 得 {a1+d=17a1+21d=14 ． 解得 a1=12 ， d=12 ，所以 an=n2 ． ∵ b1⋅b2⋅b3⋅⋅⋅⋅⋅bn=2n2+n2=2n(n+1)2 ， ∴ b1⋅b2⋅b3⋅⋅⋅⋅⋅bn−1=2n(n−1)2(n≥2) ， 两式相除得 bn=2n(n≥2) ． 当 n=1 时， b1=2 适合上式． ∴ bn=2n ． 解：∵ cn=bncos(anπ)=2ncos(n2π) ， ∴ T2n=2cosπ2+22cosπ+23cos3π2+24cos(2π) +⋅⋅⋅+22n−1cos(2n−1)π2+22ncos(nπ) =22cosπ+24cos(2π)+26cos(3π)+⋅⋅⋅+22ncos(nπ) =−22+24−26+⋅⋅⋅+(−1)n⋅22n =−4(1−(−4)n)1+4=−4+(−4)n+15 ．

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