题目

已知函数 . （1） 当 时，判断 是否为 的极值点，并说明理由； （2） 记 .若函数 存在极大值 ，证明： . 答案： 解: 由 f(2)=3 ，可得 a=1 ，故 f(x)=ex(x−2)+x+1 ． x=0 不是 f(x) 的极值点. 理由如下： f'(x)=ex(x−1)+1 ． 记 g(x)=ex(x−1)+1 ，则 g'(x)=ex⋅x . 由 g'(x)=ex⋅x≤0 ，解得 x≤0 ；由 g'(x)=ex⋅x≥0 ，解得 x≥0 ， 所以 g(x) 在 (−∞,0] 单调递减，在 [0,+∞) 单调递增， 故 f'(x)=   g(x)≥g(0)=0 ，即 f(x) 在 （−∞,+∞) 恒单调递增， 故 x=0 不是 f(x) 的极值点． 解: 依题意， g(x)=ex(x−2)−ax+12ax2+1 ． 则 g'(x)=(ex+a)(x−1) ． ① a≥0 时， g'(x)≤0 在 x∈(−∞ ，  1] 恒成立， g'(x)≥0 在 x∈[1 ，  +∞) 恒成立， 所以 g(x) 在 R 上先减后增，故 g(x) 在 R 上有极小值，无极大值，应舍去． ② a=−e 时， g'(x)≤0 在 x∈(−∞ ，  1] 恒成立， g'(x)≥0 在 x∈[1 ，+∞) 恒成立， 所以 g(x) 在 R 上先减后增，故 g(x) 在 R 上有极小值，无极大值，应舍去． ③ a<−e 时，由 g'(x)=0 得 x=ln(−a) 和 x=1 ， (−∞,1) (1,ln(−a)) (ln(−a),+∞) g'(x) 大于 0 小于 0 大于 0 g(x) 单调递增 单调递减 单调递增 因为 ln(−a)>1 ，故有下列对应关系表： 故 g(x)极大值=g(1)=−12a−e+1 ， 记 h(a)=−12a−e+1 ， 因为 h(a)=−12a−e+1 在 a∈(−∞ ，  −e) 上单调递减， 所以 h(a)>h(−e)=1−e2>−1 ． ④当 −e<a<0 时，因为 ln(−a)<1 ，故 (−∞,ln(−a)) (ln(−a),1) (1,+∞) g'(x) 大于 0 小于 0 大于 0 g(x) 单调递增 单调递减 单调递增 故 g(x)极大值=g(ln(−a))=12aln2(−a)+2(−a)ln(−a)+2a+1 ， 设 t=−a∈(0 ，  e) ， 记 k(t)=2tlnt−2t−12ln2t+1 ， 则 k'(t)=lnt(1−12lnt) ，令 k'(t)=0 得 t=1 和 t=e2 （舍去）， (0 ，  1) (1,e) k'(x) 小于 0 大于 0 k(x) 单调递减 单调递增 故 k(t)≥k(1)=−1 ．

查看本题答案和解析