题目

已知数列{an}满足：a1=1， ，记 . （1） 求b1 ， b2的值； （2） 证明：数列{bn}是等比数列； （3） 求数列{an}的通项公式. 答案： 解：a1=1， an+1={an2+n−1，n为奇数an−2n，n为偶数 ，记 bn=a2n(n∈N*) . b1=a2 =12 a1+1﹣1 =12 . a3=a2﹣4 =12− 4 =−72 . b2=a4 =12 a3+3﹣1 =12 a3+2 =−74+ 2 =14 . 证明：bn=a2n =12 a2n﹣1+2n﹣2， n≥2时，a2n﹣1=a2n﹣2﹣2（2n﹣2）=a2n﹣2﹣4n+4. ∴bn =12 a2n﹣1+2n﹣2 =12 （a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣2 =12 a2n﹣2 =12 bn﹣1， n=1时，b2 =12 b1. ∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为 12 . 解：由（2）可得：bn =(12)n . ∴a2n =(12)n . 又a2n =12 a2n﹣1+2n﹣2 =(12)n . 解得：a2n﹣1 =(12)n−1+ 4﹣4n. 综上可得：数列{an}的通项公式：an ={(12)k，n=2k(12)k−1+4−4k，n=2k−1 ，k∈N*.

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