题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD． 又∵PA⊥平面ABCD， BD⊂≠ 平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A， PA⊂≠ 平面PAC， AC⊂≠ 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵ BD⊂≠ 平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1， AO=CO=3 ，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则 P(3，0，2) ， A(3，0，0) ，B（0，1，0），D（0，﹣1，0）， C(−3，0，0) ，所以 PB→=(−3，1，−2) ， PD→=(−3，−1，−2) ， PC→=(−23，0，−2) ．设平面PDB的法向量为 n→=(x，y，z) ，则 {n→⋅PB→=0n→⋅PD→=0 则 {−3x+y−2z=0−3x−y−2z=0 解得y=0，令 z=3 ，得x=﹣2，∴ n→=(−2，0，3) ．设PC与平面PBD所成角为θ，则 sinθ=|cos<n→，PC→>|=|n→⋅PC→|n→|⋅|PC→||=2347=2114 ，则PC与平面PBD所成角的正弦值为 2114 ．

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