题目

如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 答案：【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由平面几何知识可得，再由面面垂直的性质定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得结论；（2）取中点为，可得，从而有平面，以为原点，为轴建立空间直角坐标系(如图)，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夹角得出二面角（注意二面角是锐角还是钝角）.（1）证明：取中点，连接，则四边形为菱形，即有，所以.又平面，平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得，取中点，连接，则，，又平面，平面平面，平面平面，∴平面.以为原点建系如图，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，，.∴二面角的余弦值为.

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