题目

如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1） 当t为何值时，点Q与点D重合？ （2） 当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长． （3） 若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围． 答案： 解：∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴ ACAB=ADOA ，∴AD= 65t ，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴ 65t +t=6，∴t= 3011 解：当⊙Q经过A点时，如图1，OQ=OA﹣QA=4，∴t= 41 =4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴ PEOA=BPAB ，∴PE= 185 ，∴由勾股定理可求得：EF= 2195 ，由垂径定理可求知：FG=2EF= 4195 解：当QC与⊙P相切时如图2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠AOB，∴△AQC∽△ABO，∴ AQAB=ACOA ，∴ 6−t10=2t6 ，∴t= 1813 ，∴当0＜t≤ 1813 时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t= 3011 ，∴当 3011 ＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤ 1813 或 3011 ＜t≤5．

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