题目

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1 ， y1），点Q的坐标为（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1≠y2 ．若P ， Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ， Q的“相关矩形”，下图①为点P ， Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A ， B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A ， C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A ， D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．答案：解：∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；解：由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形 ∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n 把（1，0）分别y=x+m， ∴m=-1， ∴直线AC的解析为：y=x-1，把（1，0）代入y=-x+n， ∴n=1， ∴y=-x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1；解：把A（1，0），D（4，2）分别代入y=2x+b±2，得出b=0，或b=-8， ∴b＞0或b＜-8

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