题目

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE. （1） 求证：四边形ABCD是矩形； （2） 若AB＝2，求△OEC的面积. 答案： 证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形. 解：作OF⊥BC于F，如图所示. ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴BF＝FC， ∴OF＝ 12 CD＝1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝45°， 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2， ∴△OEC的面积＝ 12 •EC•OF＝1.

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