题目

设a，b，c是某三角形的三边长，证明a2（b+c﹣a）+b2（c+a﹣b）+c2（a+b﹣c）≤3abc． 答案：证明：不妨设a≥b≥c，可得ac﹣bc≤a2﹣b2，即a（b+c﹣a）≤b（c+a﹣b），容易验证a（b+c﹣a）≤b（c+a﹣b）≤c（a+b﹣c），由排序不等式可得a2（b+c﹣a）+b2（c+a﹣b）+c2（a+b﹣c）≤ba（b+c﹣a）+cb（c+a﹣b）+ac（a+b﹣c），①及a2（b+c﹣a）+b2（c+a﹣b）+c2（a+b﹣c）≤ca（b+c﹣a）+ab（c+a﹣b）+bc（a+b﹣c），②①+②并化简即得a2（b+c﹣a）+b2（c+a﹣b）+c2（a+b﹣c）≤3abc．

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