题目

如图，直线 ： 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，在 上取一点 ，以线段 为边向右作正方形 ，正方形 沿 的方向以每秒1个单位长度的速度向右作匀速运动，设运动时间为 秒 ． （1） 求 ， 两点的坐标； （2） 在正方形 向右运动的过程中，若正方形 的顶点落在直线 上，求 的值； （3） 设正方形 两条对角线交于点 ，在正方形向右运动的过程中，是否存在实数 ，使得 有最小值？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理由． 答案： 解：对于一次函数 y=−23x+4 ， 当 y=0 时， −23x+4=0 ，解得 x=6 ，则 A(6，0) ， 当 x=0 时， y=4 ，则 B(0，4) 解： ∵C(0，1) ， ∴BC=4−1=3 ， ∵ 四边形 BCDE 是正方形， ∴CD=BC=3 ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当顶点 D 落在直线 l 上时，即正方形 BCDE 与正方形 B1C1D1E1 重合，点 B，C，D，E 的对应点分别为 B1，C1，D1，E1 ， 当 y=1 时， −23x+4=1 ，解得 x=92 ，即 D1(92，1)，CD1=92 ， ∴DD1=CD1−CD=92−3=32 ， ∴t=DD11=32 （秒）； ②如图，当顶点 C 落在直线 l 上时，即正方形 BCDE 与正方形 B2C2D2E2 重合，点 B，C，D，E 的对应点分别为 B2，C2，D2，E2 ， 由（2）①可知， CC2=92 ， ∴t=CC21=92 （秒）， 综上， t 的值为 32 或 92 解：如图，过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M ，作点 O 关于 PM 的对称点 O1 ，连接 O1P，O1A ，延长 MP 交 O1A 于点 P1 ， 由轴对称的性质得： OP=O1P ， OM=O1M=12OO1 ， ∴OP+PA=O1P+PA ， 由两点之间线段最短得：当点 O1，P，A 共线，即点 P 与点 P1 重合时， O1P+PA 取最小值， 则正方形 BCDE 运动的距离为 PP1 的长， ∵ 四边形 BCDE 是正方形， ∴BE⊥BC，BE=BC=3 ，点 P 是 CE 的中点， ∴PM//BE ， ∴PM 是 △BCE 的中位线， ∴PM=12BE=32 ， 同理可得： P1M 是 △AOO1 的中位线， ∴P1M=12OA ， ∵A(6，0) ， ∴OA=6 ， ∴P1M=12×6=3 ， ∴PP1=P1M−PM=3−32=32 ， ∴t=PP11=32 （秒）， 故当 t=32 时， OP+PA 有最小值

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