题目

如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， ， ， ，点 为 的中点. （1） 证明： 平面 . （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 答案： 证明：由题意 BCDE 为平行四边形，且 AE：EB：BC=1：2：2 可得四边形 BCDE 为菱形，连接 CE ， 在 Rt△ADE 中，∵ AE=12DE ， ∴ ∠AED=60° ，则 ∠CDE=60° ，所以 △CDE 为正三角形. 由点 О 为 DE 的中点，得 CO⊥ED . ∵点 О 为 DE 的中点，∴ AO=12ED=EO ， 又 AC=DC ，∴ AC=EC ， ∴" △AOC ≌ △EOC ，则 CO⊥AO . ∵ AO∩DE=O ，∴ CO⊥ 平面 ADE . 解：如图，不妨设 DE=2 ，以 О 为原点， OC→ 为 x 轴正半轴建立空间直角坐标系 O−xyz ， 则 D(0，1，0) ， E(0，−1，0) ， C(3，0，0) ， B(3，−2，0) ， A(0，−12，32) . 设平面ABE的一个法向量为 m→=(x1，y1，z1) ，则 {m→⋅BE⇀=−3x1+y1=0m→⋅EA⇀=12y1+32z1=0 ， 不妨令 z1=1 ，得 m→=(−1，−3，1) . 设平面 AOC 的一个法向量为 n→=(x2，y2，z2) ，则 {n→⋅OC⇀=3x2=0n→⋅OA⇀=−12y2+32z2=0 ， 令 y2=3 ，得 n→=(0，3，1) . ∵ |cos〈m→，n→〉|=|m→⋅n→||m→||n→|=|0−3+1|5×2=55 ， ∴平面 ABE 与平面 AOC 所成锐二面角的余弦值为 55 .

查看本题答案和解析