题目

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．答案：解：当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴ {1−b+c=0c=−3∴ {b=−2c=−3 ，抛物线的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）解：由（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ 32 ）2+ 94 ；∴当x= 32 时，ME的最大值为 94 解：答：不存在．由（2）知ME取最大值时ME= 94 ，E（ 32 ，﹣ 154 ），M（ 32 ，﹣ 32 ）∴MF= 32 ，BF=OB﹣OF= 32 ．设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM．∴P1（0，﹣ 32 ）或P2（3，﹣ 32 ）当P1（0，﹣ 32 ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣ 32∴P1不在抛物线上．当P2（3，﹣ 32 ）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣ 32∴P2不在抛物线上．综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形

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