题目

已知数列，，…，的项，其中 …，，，其前项和为，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为， . （1）求的值；（2）求数列的通项公式，并化简. 答案：解：因为前六项的和除以3余数为1 所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，所以这样的数列共有 C62+C65=21 个，故 b1=21 解：因为 a1 ， a2 ，…， a6n 和 S6n 除以3余数为1，所以这 6n 项中包含2个1或5个1……或 6n−1 个1，其余均为2，所以 bn=C6n2+C6n5+⋯+C6n6n−1 ，设 S6n 除以3余数为2，0的数列 a1 ， a2 ，…， a6n 的个数构成的数列分别为 {cn} ， {dn} 同理， cn=C6n1+C6n4+⋯+C6n6n−2 ， dn=C6n0+C6n3+⋯+C6n6n ∵ cn=C6n1+C6n4+…+C6n6n−2=C6n6n−1+C6n6n−4+…+C6n2=bn ∵ bn+cn+dn=26n⇒dn=26n−2bn 结合（1）猜想 bn=26n−13 ， n∈N* 下面用数学归纳法证明当 n=1 时， b1=26−13=21 ，成立假设当 n=k 时，有 bk=26k−13 ， k∈N* 成立，且 ck=bk=26k−13 ， dk=26k+23 则当 n=k+1 时，数列共 (6k+6) 项，分两步看，第一步先看前 6k 项，前 6k 项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为 bk ， ck ， dk ，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21 ∴ bk+1=bk×22+ck×21+dk×21=26k−13×22+26k−13×21+26k+23×21=26(k+1)−13 所以当 n=k+1 时，猜想也成立综上， bn=26n−13 ， n∈N*

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