题目

已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 两点，交 轴于点 为坐标原点. （1） 若 ，求直线 的方程； （2） 线段 的垂直平分线与直线 轴， 轴分别交于点 ，求  的最小值. 答案： 解：设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 {y2=4xx=my+1 得y2－4my－4＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．所以kOA＋kOB＝ 4y1+4y2=4(y1+y2)y1y2 ＝－4m＝4．所以m＝－1，所以l的方程为x＋y－1＝0 解：由（1）可知，m≠0，C(0，－ 1m )，D(2m2＋1，2m)．则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)， S△NDC＝ 12 ·|NC|·|xD|＝ 12 ·|2m3＋3m＋ 1m |·(2m2＋1)＝ （m2+1)(2m2+1)22|m| ，S△FDM＝ 12 ·|FM|·|yD|＝ 12 ·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)， 则 SΔNDCSΔFDM ＝ (2m2+1)24m2=m2+14m2 ＋1≥2，当且仅当m2＝ 14m2 ，即m2＝ 12 时取等号．所以， SΔNDCSΔFDM 的最小值为2．

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