题目

数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点C绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中 ， 直线 ， 相交于点G，边与相交于点H. （1） 如图①，当时，线段与的数量关系是； （2） 将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由. （3） 在（2）的情况下，若绕点C旋转时，边与的交点H始终在线段上，连接 ， 若 ， ， 请直接写出线段的长度. 答案： 【1】CG=3CH 解：CG=3CH理由：如图，分别取DF，DE的中点M，N，连接CM，CN.∵C，M，N分别为EF，DF，DE的中点，∴CM∥DE，CM=12DE，CN∥DF，CN=12DF.又∵∠EDF=90°，∴CM⊥DF，CN⊥DE，∴∠MCN=90°，∴∠MCN=∠ACB，∴∠HCN+∠NCG=∠NCG+∠GCM，∴∠HCN=∠GCM.又∵∠HNC=∠GMC=90°，∴△GCM∽△HCN∴CGCH=CMCN.由（1）可知CMCN=3，∴CG=3CH； 83±6

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