题目

如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B.连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E. （1） 求证：PB是⊙O的切线； （2） 若OC=3，AC=4，求PB的长. 答案： 证明：连接OB，如图： ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90° ∵PO⊥AB， ∴AC＝BC， ∴PA＝PB， 在△PAO和△PBO中 {PA=PBAO=BOPO=PO ∴△PAO≌△PBO ∴∠OBP＝∠OAP＝90° ∴PB是⊙O的切线. 解：在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4 ∴AO＝5 在Rt△ACO与Rt△PAO中， ∵∠AOC＝∠POA，∠PAO＝∠ACO＝90° ∴△ACO∽△PAO ∴ AOCO=POAO ∴PO＝ 253 ， 由勾股定理，得： PA=PO2−AO2=203 ， ∴PB＝PA＝ 203 .

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