题目

设 的定义域为 ，对于任意正实数 恒 ，且当 时， . （1） 求 的值； （2） 求证： 在 上是增函数； （3） 解关于 的不等式 . 答案： 解：令 m=n=1 ，则 f(1)=2f(1) ，所以 f(1)=0 ， 令 m=3,n=13 ，则 f(1)=f(3)+f(13) ，所以 f(3)=1 证明：任取 x1,x2∈(0,+∞) ，且 x1<x2 ，则 x2x1>1 ， f(x2)−f(x1)=f(x1·x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1) ， 因为 x2x1>1 ，所以 f(x2x1)>0 ，即 f(x2)>f(x1) ， 所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增 解：由 f(3×3)=f(3)+f(3) 得 f(9)=2 ， 所以 f(x)≥f(27x−6) ，因为 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， 即 {x>027x−6>0x≥27x−6  ，得 x≥9 ， 所以不等式的解集为 [9,+∞) .

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