题目

已知函数 ． 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （1） 求的解析式及最小值； （2） 若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．条件①：函数的最小正周期为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为 ． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 答案： 解：由题可知，f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m=32sin2ωx+12cos2ωx+m+12=sin(2ωx+π6)+m+12．选择①②：因为T=2π2ω=π，所以ω=1．又因为f(0)=1+m=12，所以m=−12．所以f(x)=sin(2x+π6)．当2x+π6=2kπ−π2，k∈Z，即x=kπ−π3，k∈Z时，f(x)=−1.所以函数f(x)的最小值为-1． 选择①③：因为T=2π2ω=π，所以ω=1．又因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0．所以f(x)=sin(2x+π6)+12．当2x+π6=2kπ−π2，k∈Z，即x=kπ−π3，k∈Z时，sin(2x+π6)=−1，所以函数f(x)的最小值为−1+12=−12．选择②③：因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0∵m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去. 解：选择①②：令sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ，k∈Z，所以x=kπ2−π12，k∈Z．当k=1，2时，函数f(x)的零点为5π12，11π12，由于函数f(x)在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以5π12≤t<11π12．所以t的取值范围是[5π12，11π12)． 选择①③：令sin(2x+π6)+12=0，则2x+π6=2kπ+76π，k∈Z，或2x+π6=2kπ+116π，k∈Z，所以x=kπ+π2，k∈Z，或x=kπ+56π，k∈Z．当k=0时，函数f(x)的零点分别为π2，5π6，由于函数f(x)在区间[0，t]上有且仅有1个零点，所以π2≤t<5π6．所以t的取值范围是[π2，5π6)．

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