题目

已知各项是正数的数列的前n项和为．（1）若（nN*，n≥2），且．①求数列的通项公式；②若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q＞0， q1）的等比数列，且{an}的前n项积为．若存在正整数k，对任意nN*，使得为定值，求首项的值． 答案：【答案】（1）①②（2）【解析】试题分析：（1）①当时，由 可得 两式相减得，即，，数列为等差数列，可得，②由①知，，所以，可得对一切恒成立，记，，判断数列的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设（），，两边取常用对数，． 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 若为定值，令，化为.对恒成立，问题等价于，从而可得结果.试题解析：（1）①当时，由 则 两式相减得，即， 当时，，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的通项公式为. ②由①知，，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，，所以，， 当时，，当时，，且，，，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为. （2）由题意，设（），，两边取常用对数，． 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于 将代入，解得.因为，所以，所以，又故.

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