题目

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K． （1） 如图1，求证：KE=GE； （2） 如图2，连接CA ，BG，若∠FGB= ∠ACH，求证：CA∥FE； （3） 如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE= ，AK= ，求CN的长． 答案： 证明：如图1，连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG+∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE 证明：设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB= 12 ∠ACH，∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE 解：作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH= AHAC=35 ，设AH=3a，AC=5a，则CH= AC2−CH2=4a ，tan∠CAH= CHAH=43 ，∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH= AHHK =3，AK= AH2+HK2=10a ，∵AK= 10 ，∴ 10a=10 ，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH= PNAP=43 ，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN= PNCP =3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b= 513 ，∴CN= PN2+CP2 = 410⋅b = 201310 ．

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