题目

8个学生解8道题目． （1） 若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出． （2） 如果每道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点. 答案： 解： 先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出5×8=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出了5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为A，我们讨论以下4种可能：第一种可能：A只解出5道题，另3道题被其他7个人解出， 而3道题至少共被解出3×5=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目（15=2×7+1，由抽屉原则便知）由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B．那么，每道题至少被A、B两名同学中某人解出；第二种可能：A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2×5=10次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目（10=1×7+3，由抽屉原则便知）．与1第一种可能I同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C．那么，每道题目至少被A、C学生中一人解出第三种情况： 若A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，第四种情况： 若A解出8道题目，则随意找一名学生， 问题（1）得证。 类似（1）中的想法，题目共被解出8×4次， 可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道题．随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出4×4=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出。具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打√代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出。

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