题目

已知函数f（x）=lg（ ）为奇函数． （1） 求m的值，并求f（x）的定义域； （2） 判断函数f（x）的单调性，并证明； （3） 若对于任意θ∈[0， ]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ ）﹣lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵函数f（x）=lg（ 1−mx1−x ）为奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，即lg（ 1+mx1+x ）=﹣lg（ 1−mx1−x ），即lg（ 1+mx1+x ）+lg（ 1−mx1−x ）=0，则 1+mx1+x • 1−mx1−x =1，即1﹣m2x2=1﹣x2，在定义域内恒成立，∴m=﹣1或m=1，当m=1时，f（x）=lg（ 1−mx1−x ）=lg1=0，∴m=﹣1，此时f（x）=lg 1+x1−x ，由 1+x1−x ＞0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1） 解：∵f（x）=lg 1+x1−x ，﹣1＜x＜1，任取﹣1＜x1＜x2＜1， 设u（x）= 1+x1−x ，﹣1＜x＜1，则u（x1）﹣u（x2）= 1+x11−x1−1+x21−x2=2(x1−x2)(1−x1)(1−x2) ∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴u（x1）﹣u（x2）＜0，∴u（x1）＜u（x2），即lgu（x1）＜lgu（x2），∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在定义域内单调递增 解：假设存在实数λ，使得不等式不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ 13 ）﹣lg3＞0成立， 即不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ 13 ）＞lg3=f（ 12 ），由（1），（2）知： 12 ＜cos2θ+λsinθ﹣ 13 ＜1 对于任意θ∈[0， π2 ]，即 {1−sin2θ+λsinθ−13<11−sin2θ+λsinθ−13>12 ，当θ=0时成立；当θ∈（0， π2 ]时，令sinθ=t，则 {−t2+λt<13−t2+λt>−16 ，即 {λ<233λ>56 ，则 56<λ<233

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