题目

已知函数 （ ，且a为常数）． （1） 若函数 的图象在 处的切线的斜率为 （ 为自然对数的底数），求a的值； （2） 若函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围； （3） 已知 ，且 ．求证： ． 答案： 解：由题意得： f′(x)=1x(ax+1)−alnx(ax+1)2=ax+1−axlnxx(ax+1)2 ∵ y=f(x) 的图象在 x=e 处的切线的斜率为 1e(1−e)2 ， ∴f′(e)=1e(1−e)2 ， ∴ae+1−aelnee(ae+1)2=1e(1−e)2 ，解得： (ae+1)2=(1−e)2 ， ∴ae+1=±(1−e) ， ∴a=−1 或 e−2e 解： ∵ 函数 f(x) 在 (1,2) 上单调递增， ∴ 对于任意的 x∈(1,2) ，都有 f′(x)≥0 恒成立 即 ax+1−axlnx≥0 且 ax+1≠0 ， 当 a=0 ， 1≥0 恒成立，满足题意； 当 a≠0 时，由 x≠−1a 得： −1a∉(1,2) ，即 a>0 或 −12≤a<0 或 a≤−1 ， 令 φ(x)=ax+1−axlnx ，则 φ′(x)=−alnx ， ①当 a>0 且 x∈(1,2) 时， φ′(x)<0 ， ∴φ(x) 在 (1,2) 上单调递减， 要使得 ax+1−axlnx≥0 恒成立，即要求 φ(2)≥0 ， 即 2a+1−2aln2≥0 ，解得： a≥−12−2ln2 ， ∴a>0 满足题意； ②当 −12≤a<0 或 a≤−1 ，且 x∈(1,2) 时， φ′(x)>0 ， ∴φ(x) 在 (1,2) 上单调递增， 要使得 ax+1−axlnx≥0 恒成立，即要求 φ(1)≥0 ， 即 a+1−aln1≥0 ，解得： a≥−1 ； ∴−12≤a<0 或 a=−1 综上所述：a的取值范围是 {−1}∪[−12,+∞) 解：由（2）可知：当 a=−1 时，函数 f(x) 在 (1,2) 上单调递增，此时 f(x)=lnx−x+1=lnx1−x ， 当 1<x≤32 时， f(x)≤f(32)=−2ln32 ，而 2x−3≤0 ， ∴(2x−3)f(x)≥−2ln32(2x−3) ，即 (2x−3)lnx(1−x)≥−2ln32(2x−3) ， ∴(2x−3)lnx(x−1)≤2ln32(2x−3) ， 当 32≤x<2 时， f(x)≥f(32)=−2ln32 ，而 2x−3≥0 ， ∴(2x−3)f(x)≥−2ln32(2x−3) ，即 (2x−3)2lnx(1−x)≥−2ln32(2x−3) ， ∴(2x−3)lnx(x−1)≤2ln32(2x−3) 综上，对于任意 x∈(1,2) ，都有 (2x−3)lnx(x−1)≤2ln32(2x−3) ， ∴(2x−3)lnx(x−1)+(2y−3)lny(y−1)≤2ln32(2x−3)+2ln32(2y−3)=2ln32(2x+2y−6) =0 ，结论得证.

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