题目

已知函数 ， ，其中a>1.（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ；（Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线. 答案：解：（Ⅰ）∵h(x)= ax−xlna⇒h'(x)=ax⋅lna−lna ，令 h'(x)= 0， ⇒x=0 。由a>1，则h(x)在 (−∞，0) 递减，在 (0，+∞) 递增。（Ⅱ）证明：由 f'(x)=ax⋅lna ，则 y=f(x) 在点 (x1，f(x1)) 处切线斜率为 ax1⋅lna ，由 g'(x)=1xlna ，则 y=g(x) 在点 (x2，g(x2)) 处切线斜率为 1x2lna又 ax1⋅lna = 1x2lna ⇒ax1⋅x2⋅(lna)2=1 两边取以a为底的对称，则 logax2+x1+2logalna=0 ，∴ x1+g(x2)=2lnlnalna 。（Ⅲ）证明：曲线 y=f(x) 在点 (x1，ax1) 切线 l1：y−ax1=ax1⋅lna(x−x1) ，曲线 y=g(x) 在点 (x2，logax2) 处切线l2：y−logax2=1x2lna(x−x2) ，要证明当 a≥e1e 时，存在直线l，使l是曲线 y=f(x) 的切线，也是曲线 y=g(x) 的切线，只需证明当 a≥e1e 时，存在 x1∈R，x2∈(0，+∞) ，使得 l1 ， l2 重合。即需证明：当 a≥e1e 时， {ax1lna=1x2lna①ax1−x1ax1lna=logax2-1lna② ，由 ① 得： x2=1ax1(lna)2代入 ② 得： ax1−x1ax1lna+x1+1lna+2lnlnalna=0 ③，因此 a≥e1e ，关于 x1 方程③存在实数解即可。设 u(x)=ax−xaxlna+x+1lna+lnlnalna ，则 a≥e1e 时， u(x) 存在零点， ⇒u'(x)=1−(lna)2⋅x⋅ax ，x<0 时， u'(x)﹥0 ，x﹥0 时， u'(x)<0又 u'(0)=1>0 ， u'(1(lna)2)=1−a1(lna)2<0 ，u'(x0)=0 ，而 1−(lna)2⋅x0ax0=0 ，∴ u(x) 在 (−∞，x0)↗在(x0，+∞)↙ ，∴ u(x)极大值=u(x0) 。∵ a≥e1e ，∴ lnlna ≥ -1.∴ u(x0)=ax0−x0ax0lna+x0+1lna+2lnlnalna = 1x0(lna)2+x0+2lnlnalna ≥ 2+2lnlnalna≥0 。下面证明存在实数t，使得 u(t)<0 。由(1)知：ax≥1+xlna ，当 x>1lna 时：有 u(x)≤(1+xlna)(1−xlna)+x+1lna+2lnlnalna = −(lna)2⋅x2+x+1+1lna+2lnlnalna 。∴存在t，使得 u(t)<0 ，∴ a≥e1e 时，存在 x1∈R，使得u(x1)=0 。

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