题目

设函数 （ ， 为实数）． （1） 若 为偶函数，求实数 的值； （2） 设 ，请写出 的单调减区间（可以不写过程）； （3） 设 ，求函数 的最大值． 答案： 解：因为 f(x) 为偶函数， 所以 −x2+|2x−a|=−x2+|−2x−a| 所以 |2x−a|=|2x+a| 4x2−4ax+a2=4x2+4ax+a2 ， 8ax=0 因为 x∈R ，所以 a=0 解： a=1 时， f(x)=−x2+|2x−1| 当 x>12 时， f(x)=−x2+2x−1 ， 开口向下，对称轴 x=1 ， 所以在 (12,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减， 当 x≤12 时， f(x)=−x2−2x+1 ， 开口向下，对称轴 x=−1 ， 所以在 (−∞,−1) 上单调递增，在 (−1,−12) 上单调递减， 综上所述 f(x) 的单调递减区间为 (−1,−12) ， (1,+∞) 解： f(x)=−x2+|2x−a| ， a<−2 当 x>a2 时， f(x)=−x2+2x−a ， 开口向下，对称轴为 x=1 ， 所以 f(x) 在 (a2,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减， 且 f(a2)=−a24 当 x≤a2 时， f(x)=−x2−2x+a 开口向下，对称轴为 x=−1 ， 而 a<−2 ，所以 a2<−1 ， 所以 f(x) 在 (−∞,a2) 上单调递增， 且 f(a2)=−a24 ， 综上所述， f(x) 在 (−∞,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减， 故 f(x) 在 x=1 处取得最大值， f(x)max=f(1)=1−a

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