题目

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 （A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长 千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧 ． （1） 求ω的值和∠DOE的大小； （2） 若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值． 答案： 解：由条件，得A=2， T4=3 ． ∵ T=2πω ，∴ ω=π6 ． ∴曲线段FBC的解析式为 y=2sin(π6x+2π3) ．当x=0时， y=OC=3 ．又CD= 3 ，∴ ∠COD=π4,即∠DOE=π4 ． 解：由（1），可知 OD=6 ． 又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故 OP=6 ． 设∠POE=θ， 0<θ<π4 ，“矩形草坪”的面积为 S=6sinθ(6cosθ−6sinθ)=6(sinθcosθ−sin2θ) = 6(12sin2θ+cos2θ−12)=32(2θ+π4)−3 ． ∵ <θ<π4 ，故 2θ+π4=π2时，θ=π8时，S 取得最大值

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