题目

已知函数，.（1）若在上为单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且，求证：对定义域内的任意实数，不等式恒成立. 答案：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据函数单调递增可得，将问题转化为在上恒成立；利用导数求解出在的最小值，从而得到的取值范围；（2）将问题转化为证明当时，，在和时分别得到需恒成立的不等式；令，通过导数研究单调性，结合可证得结论.（1）由已知的定义域为所以在上单调递增对任意，都有 即令，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减因为时，总有 （2）当时，对定义域内的任意正数，不等式恒成立，即时，因为当时，；当时，，所以只须证：当时，；当时，令令，则当时，；当时， 所以是的极值点，从而有极小值，即最小值所以恒成立在上单调递增，又因为所以当时，，即恒成立；当时，，即恒成立所以，对定义域内的任意实数，不等式恒成立

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