题目

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E. （1） 若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；∠DAC＝° （2） 求证：∠BAC＝2∠DAC； （3） 若AB＝10，CD＝5，求BC的值. 答案： 【1】110【2】20 证明：∵BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD， ∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD， ∵∠DAC＝∠CBD， ∴∠BAC＝2∠DAC； 解：过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G， ∵AB＝AC， ∴ ∠BAH＝∠CAH＝12∠CAB ， CH＝BH， ∵∠BAC＝2∠DAC， ∴∠CAG＝∠CAH， ∴∠G＝∠AHC＝90°， ∵AC＝AC， ∴△AGC≌△AHC（AAS）， ∴AG＝AH，CG＝CH， ∵∠CDG＝∠ABC， ∴△CDG∽△ABH， ∴ CGAH＝CDAB＝510=12 ， ∴ BHAH=12 ， 设BH＝k，AH＝2k， ∴ AB=BH²+AH²=5k=10 ∴k＝ 25 ， ∴BC＝2k＝ 45 .

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