题目

在直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，且过点 ，若 的两焦点与其中一个顶点能构成一个等边三角形. （1） 求 的方程. （2） 已知过 的两条直线 ， （斜率都存在）与 的右半部分（ 轴右侧）分别相交于 ， 两点，且 的面积为 ，试判断 ， 的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 答案： 解：由题意可知 bc=tan60°=3 ，即 b=3c ， 又 a2=b2+c2 ，得 a2=4c2 . 把 (2,3) 代入 C 的方程得 4a2+3b2=1 ，又 a2=4c2 ，解得 c2=2 ， 从而 a2=8 ， b2=6 ，故 C 的方程为 x28+y26=1 解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， OA ， OB 的斜率分别为 k1 ， k2 . 联立方程组 {y=k1x,x28+y26=1, ，得 x12=243+4k12 ， 同理得 x22=243+4k22 ， 则 |OA|=1+k12⋅|x1|= 24(1+k12)3+4k12 . 因为点 B 到直线 OA 的距离 d=|k2x2−k1x2|1+k12 ， 所以 ΔAOB 的面积为 S=12|OA|⋅d =1224(1+k12)3+4k12×|k2x2−k1x2|1+k12 =6|k2x2−k1x2|3+4k12=23 ， 则 S2=6x22|k2−k1|23+4k12 =6|k2−k1|23+4k12×243+4k22=12 ， 整理得 16k12k22+24k1k2+9=(4k1k2+3)2=0 ， 即 k1k2=−34 ，故 l1 ， l2 的斜率之积为定值，且定值为 −34 .

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