题目

对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”． 例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”. 又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”. （1） 判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由； （2） 三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 为整数，求出满足条件的所有数 A． 答案： 解：∵357÷（3+5+7）=23.8， ∴357不是15的“和倍数”， ∵441÷（4+4+1）=49， ∴441是9的“和倍数”； 解：设三位数A=abc， ∵A是12的“和倍数” ∴a+b+c=12， ∵a＞b＞c， ∴F（A）=ab，G（A）=cb， ∴F（A）+（GA）16=ab+cb16=10a+10c+2b16， ∴10a+10c+2b16为整数， ∵a+c=12-b， ∴10a+10c+2b16=10（12-b）+2b16=120-8b16=112+8（1-b）16=7+1-b2， 又∵1＜b＜9， ∴当b=3，5，7，9时，10a+10c+2b16为整数， ∴当b=3时，a+c=9，则a=8，c=1（不符合题意，舍去）或a=7，c=2， ∴三位数A=732； 当b=5时，a+c=7，则a=6，c=1（不符合题意，舍去）； 当b=7时，a+c=5（不符合题意，舍去）； 当b=9时，a+c=3（不符合题意，舍去）， 综上所述，这个三位数A为732.  

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