题目

如图（1），直角△ABC与直角△BCD中∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，固定△BCD，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一个大小为 的角（0°＜ ≤180°）得△ACB′. （1） 在旋转过程中，当B'C⊥BD时， ＝°； （2） 如图（2），旋转过程中，若边AB'与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接AD，设∠DAB'＝ ，∠BCB'＝ ，∠ADB＝ ，试探究 ＋ ＋ 的值是否发生变化，若不变请求出这个值，若变化，请说明理由； （3） 在旋转过程中，当AB'与△BCD的边垂直时，直接写出 的度数. 答案： 【1】45 解：结论： θ ＋ β ＋ γ 的值不变. 理由：在直角△AB′C与直角△BCD中， ∠ACB′＝∠BCD＝90°，∠CAB‘＝30°，∠CBD＝45°， ∴∠B＝45°，∠B'＝60°， ∵∠EFB是△DFA的一个外角， ∴∠EFB＝∠DAB'＋∠ADB， ∠EFB＝ θ ＋ γ ①， 又∵∠BEF是△CB'E的一个外角， ∴∠BEF＝∠BCB'＋∠B'， ∴∠BEF＝ β ＋60°②， ∴①＋②可得∠EFB＋∠BEF＝ θ ＋ β ＋ γ ＋60°， 又∵在△EFB中，∠B＝45°， ∴∠EFB＋∠BEF＝180°﹣45°＝135°， ∴ θ ＋ β ＋ γ ＋60°＝135°， ∴ θ ＋ β ＋ γ ＝75°. 满足条件的 α 的值为30°或120°或165°. 理由：①当AB'⊥BC时，如图3﹣1中，∵∠B′EC＝90°，∠B′＝60°， ∴∠BCB′＝90°﹣60°， 即 α ＝30°. ②当AB'⊥CD时，如图3﹣2中，∵∠CEB′＝90°，∠B′＝60°， ∴∠ECB′＝30°， ∴∠BCB′＝90°＋30°＝120°，即 α ＝120°. ③当AB'⊥BD时，如图3﹣3中，∵∠AEF＝90°，∠A＝30°， ∴AFE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CFB＝∠AFE＝60°， ∴∠BCF＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠BCB′＝90°＋75°＝165°，即 α ＝165°.

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