题目

已知函数f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R． （1） 若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围； （2） 若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围． 答案： 解：f（x）=（2x+b）ex，f′（x）=（2x+b+2）ex， ∴当x∈（﹣∞，﹣ b2−1 ）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣ b2−1 ，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣ b2−1 ），增区间为（﹣ b2−1 ，+∞）．F（x）的定义域为（0，+∞），且F′（x）=b﹣ 1x=bx−1x ．∵b＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，要使存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，则 −b2−1 ＞0，即b＜﹣2．∴b的取值范围是（﹣∞，﹣2） 解：F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）． 要使F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），则g′（x）=b﹣ 1x+1=bx+b−1x+1 （x＞0）．若b≤0，则g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，而g（0）=0，不合题意；若0＜b＜1，则当x∈（0， 1−bb ）时，g′（x）＜0，当x∈（ 1−bb ，+∞）时，g′（x）＞0，∴ g(x)min=g(1−bb) =1﹣b+lnb＞0，得b∈∅；若b≥1，则 1−bb≤0 ，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，g（x）在（0，+∞）上为增函数，g（x）＞g（0）=0．综上，b的取值范围是[1，+∞）

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