题目

若关于x的方程 （ ）的解与关于y的方程 （ ）的解是满足 ，则称方程 （ ）与方程 （ ）是“友好方程”.例如：方程 的解是 ，方程 的解是 ，因为 ，方程 与方程 是“友好方程”. （1） 请通过计算判断方程 与方程 是不是“友好方程”； （2） 若关于x的方程 与关于y的方程 是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值； （3） 请判断关于x的方程 与关于y的方程 是不是“友好方程”，并说明理由. 答案： 解方程 2x−9=5x+3 得， x=−4 ， 解方程 5(y−1)−2(1−y)=3+2y 得， y=2 ， ∵ |−4−2|=6 ＞1， ∴方程 2x−9=5x+3 与方程 5(y−1)−2(1−y)=3+2y 不是“友好方程”； 关于x的方程 3x−3+4(x−1)=0 的解为 x=1 ， 关于y的方程 3y+k2−y=2k+1 的解为 y=3k+2 ， ∵关于x的方程 3x−3+4(x−1)=0 与关于y的方程 3y+k2−y=2k+1 是“友好方程”， ∴|1−（3k＋2）|≤1， ∴当−1≤1−（3k＋2）≤0时，解得 −13 ≤k≤0， 当0＜1−（3k＋2）≤1时，解得 −23 ≤k＜ −13 ， ∴ −23 ≤k≤0， ∴k的最大值是0，最小值 −23 ； 解方程 12018x−m=2x−5 得， x=10090−2018m4035 ， 解方程 y+7×2018−1=4036y+2018m 得， y=14125−2018m4035 ， ∵ x−y=10090−2018m4035−14125−2018m4035=−1 ， ∴ |x−y|=1 ， ∴关于x的方程 12018x−m=2x−5 与关于y的方程 y+7×2018−1=4036y+2018m 是 “友好方程”.

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